Ein paar Grundannahmen (Ausgangsrating und K-Wert)
Wenn du mit dem Berechnen von Elo-Zahlen für eine Liga ganz am Anfang stehst, gibst du jeder Mannschaft einen bestimmten Ausgangswert als Rating – typischerweise jeder Mannschaft den selben. Die Höhe ist prinzipiell nicht so wichtig 1, ein guter Ausgangswert ist aber 1500.
Weiterhin musst du noch den K-Wert festlegen. Auf diesen Aspekt werde ich im Detail noch in einem anderen Teil dieser Reihe eingehen – für die Beispielrechnungen hier nehme ich einen K-Wert von 30 an.
Rechnung für zwei Teams mit identischen Ratings
1. Berechnung des E-Werts
Wenn zwei Teams identische Ratings haben, sieht die Rechnung für EA und EB exakt gleich aus, da die Differenz zwischen beiden Ratings 0 beträgt:
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (RB - RA / 400)]
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (1500 – 1500) / 400]
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (0) / 400]
- EA = 1 / [1 + 10 ^ 0]
- EA = 1 / [1 + 1]
- EA = 1 / 2 = 0.5 = 50%
Auf Basis der Ratings erwarten wir also für beide Teams eine Siegwahrscheinlichkeit von 50%.
2. Berechnung der neuen Ratings
Mit den alten Ratings (jeweils 1500), dem E-Wert (jeweils 0.5) und dem K-Wert (30) benötigst du nur noch den S-Wert: Wie das Spiel ausging. Falls Team A gewinnt, ist SA = 1 und SB = 0. Dementprechend entwickeln sich die Ratings folgendermaßen:
- R'A = RA + K (SA - EA)
- R'A = 1500 + 30 (1 – 0.5)
- R'A = 1500 + 30 * 0.5
- R'A = 1500 + 15
- R'A = 1515
- R'B = RB + K (SB - EB)
- R'B = 1500 + 30 (0 – 0.5)
- R'B = 1500 + 30 * (-0.5)
- R'B = 1500 - 15
- R'B = 1485
Ein starkes Team schlägt ein schwaches Team
Besonders interessant an Elo-Ratings ist, dass sie Siege von starken Gegnern über schwache Gegner mit nur wenigen Extrapunkten belohnen, gleichzeitig aber überraschungen stärker gewichten.
Nehmen wir ein Szenario, in dem ein starkes Team (RA = 2000) gegen ein klar schwächeres Team (RB = 1700) spielt und gewinnt:
1. Berechnung der E-Werte vor dem Spiel
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (RB - RA / 400)]
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (1700 – 2000) / 400]
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (-300) / 400]
- EA = 1 / [1 + 10 ^ (-0.75)]
- EA ≈ 1 / [1 + 0.1778] Fußnote 2
- EA = 1 / 1.1778 ≈ 0.8490 = 84.90%
- EB = 1 / [1 + 10 ^ (RA - RB / 400)]
- EB = 1 / [1 + 10 ^ (2000 – 1700) / 400]
- EB = 1 / [1 + 10 ^ (300) / 400]
- EB = 1 / [1 + 10 ^ (0.75)]
- EB ≈ 1 / [1 + 5.6234]
- EB = 1 / 6.6234 ≈ 0.1510 = 15.10%
Aufaddiert kommst du auf genau 100%, was also die Anforderung strong>EA + strong>EB = 1 erfüllt.
2. Berechnung der neuen Elo-Ratings nach dem Spiel
- R'A = RA + K (SA - EA)
- R'A = 2000 + 30 (1 – 0.8490)
- R'A = 2000 + 30 * 0.151
- R'A = 2000 + 4.53
- R'A = 2004.53
- R'B = RB + K (SB - EB)
- R'B = 1700 + 30 (0 – 0.151)
- R'B = 1700 + 30 * (-0.151)
- R'B = 1700 – 4.53
- R'B = 1695.47
Ein starkes Team verliert gegen ein schwaches Team
Wenn das stärkere Team verliert, verändert sich das Rating beider Teams dagegen deutlich:
- R'A = RA + K (SA - EA)
- R'A = 2000 + 30 (0 – 0.8490)
- R'A = 2000 + 30 * (-0.849)
- R'A = 2000 – 25.47
- R'A = 1974.53
- R'B = RB + K (SB - EB)
- R'B = 1700 + 30 (1 – 0.151)
- R'B = 1700 + 30 * 0.849
- R'B = 1700 + 25.47
- R'B = 1725.47
Ein starkes Team spielt unentschieden gegen ein schwaches Team
Und auch im Falle eines Unentschiedens verliert das stärkere Team Ratingpunkte an das schwächere – da das Ergebnis schlechter als erwartet ausfiel.
- R'A = RA + K (SA - EA)
- R'A = 2000 + 30 (0.5 – 0.8490)
- R'A = 2000 + 30 * (-0.349)
- R'A = 2000 – 10.47
- R'A = 1989.53
- R'B = RB + K (SB - EB)
- R'B = 1700 + 30 (0.5 – 0.151)
- R'B = 1700 + 30 * 0.349
- R'B = 1700 + 10.47
- R'B = 1710.47
Im nächsten Blogpost
In Teil 3 der Elo-Reihe zeige ich dir, wie du Excel oder das kostenlose Libre Calc dazu verwenden kannst, Elo-Zahlen weitgehend automatisch zu berechnen.
Fußnoten:
1 Da die Elo-Ratings beider Teams voneinander abgezogen werden, ist die Differenz zwischen den Ratings der entscheidende Aspekt. Deshalb ist es egal, ob du 1000, 1500 oder auch 2000 als Ausgangsrating verwendest.
2 ≈ bedeutet „fast gleich“ und habe ich hier verwendet, weil ich in diesen Beispielen auf die 4. Stelle gerundet habe.
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